Aportaciones de Newton y Leibniz al cálculo.

El cálculo fue desarrollado sobre todo para tratar los principales problemas científicos del siglo XVII. Habían cuatro tipos de problemas: 

-Dada la fórmula de la distancia que un cuerpo recorre como función del tiempo, obtener la velocidad y la aceleración en cualquier instante; y al revés.

-Obtener la tangente a una curva.

-Obtener el valor máximo o mínimo de una función.

-Obtener longitudes de curvas como porejemplo, la distancia recorrida por un planeta en un periodo de tiempo dado.

Así, los matemáticos del siglo XVII se fueron dando cuenta de que una gran parte de los problemas que surgían de distintos tipos de movimiento y de problemas geométricos que no se habían podido resolver con los métodos comunes podían reducirse a dos tipos de problemas: “el problema de las tangentes”, y “el problema de las cuadraturas”.
Los problemas del Cálculo fueron abordados por muchos matemáticos del siglo XVII. Todas sus contribuciones fueron coronadas por las de Newton y Leibniz, quienes introdujeron símbolos cómodos y precisos para regular cada una de las operaciones fundamentales que se manejan. Esto eliminó para siempre la improvisación en la notación, esto implicó la reorganización de los resultados ya conseguidos. 

Newton abordó el desarrollo del cálculo a partir de la geometría analítica desarrollando un enfoque geométrico y analítico de las derivadas matemáticas aplicadas sobre curvas definidas a través de ecuaciones. Newton también buscaba cómo cuadrar distintas curvas, y la relación entre la cuadratura y la teoría de tangentes. Este científico no sólo dio un método general para obtener el cambio relativo de una variable respecto a  la otra, sino que mostró que el área puede obtenerse invirtiendo el proceso de obtener un cambio relativo. 

Introdujo dos importantes tipos de sistematización: el cálculo de las fluxiones y el de las primeras y últimas razones, aunque los símbolos propuestos por él son menos adecuados que los empleados por Leibniz.

Newton elabora el método de las fluxiones partiendo de que líneas y superficies se pueden considerar constituidas no de sumas, sino de desplazamientos de puntos o de líneas. Entonces se enfrenta  con dos problemas fundamentales: cálculo de las fluxiones, o de la relación entre dos fluxiones cuando se conoce la relación entre las respectivas fluyentes, y cálculo de las fluyentes cuando se conoce la relación en que se hallan las fluxiones. Estos dos problemas son los que se conocen como cálculo de derivadas y de integrales. 

Newton usó las fluxiones para la obtención de tangentes a la curva, máximos y mínimos de las funciones, curvatura de las curvas y puntos de inflexión de las mismas. También obtuvo áreas y longitudes de las curvas.

La aportación de Leibniz, entre otras, fue el símbolo de integración ∫: este símbolo indicaba la suma de todos los “indivisibles” que llenaban un área, y para señalar la integral de una variable y, función de una variable independiente x,

Leibniz leyó los trabajos de Pascal, y descubrió el triángulo característico, y llamó diferenciales a la razón entre las diferencias no nulas de sus abscisas y sus ordenadas; la condición esencial que impuso a las operaciones de obtención de las tangentes fue la de relacionar las diferenciales entre ellas. De este modo surgió la principal operación del nuevo cálculo, o sea, el estudio de la relación dy/dx entre las dos diferenciales correspondientes a los dos catetos del “triángulo característico”.

Tanto a Newton como a Leibniz se les debe reconocer que vieran el Cálculo como un método nuevo y general, aplicable a muchos tipos de funciones. Después de sus contribuciones el Cálculo dejó de ser una rama de la Geometría griega para convertirse en una ciencia independiente capaz de manejar una cantidad de problemas ampliamente extendidos.